CURSO: HABILIDADES MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD CATOLICA LOS ANGELES DE CHIMBOTE 

CENTRO ACADEMICO CHICALYO

TEMA            :HABILIDADES MATEMÁTICAS

DOCENTE    : ROJAS CANO MERCEDES LUCIA

INTRODUCCIÓN

Las capacidades se desarrollan a través de estrategias que permiten activar en los estudiantes los procesos cognitivos (procesos mentales) que involucra la capacidad específica. Los procesos cognitivos posibilitan el desarrollo de la capacidad.

Las Habilidades Matemáticas no es solo alcanzar satisfactoriamente el contenido temático, sino también el cómo lograste el contenido temático para alcanzar una habilidad matemática.

El presente texto está dividido en cuatro capítulos, la primera orientada a la enseñanza del pensamiento, presentando temas como: La naturaleza de la Enseñanza del Pensamiento, La Necesidad de la Importancia del Pensamiento, La eficacia de la Enseñanza del Pensamiento y Aspectos Enseñables del pensamiento.

El segundo capítulo está orientado a las Habilidades Matemáticas, presentando temas como: Habilidades Matemáticas: Concepto, Estructura Sistémica de las Habilidades Matemáticas, Etapas del Proceso de Formación del Sistema de Habilidades Matemáticas y Capacidades. Destrezas con sus Procesos Mentales.

El tercer capítulo está orientado a Los Números y Problemas de la Matemática, presentando temas como: ¿Cómo multiplicar si uno no sabe la tabla?, ¿Cómo dividir sin saber las tablas de multiplicar?, La prueba que no se pudo tomar, La historia de los cuatro sospechosos y La prueba de pensamiento.

El cuarto capítulo está orientado a La Matemática es un Juego, presentado temas como: Porqué es difícil la Matemática, Juego: Definición, Dilema del prisionero, Los cigarros de la señora Pita y La Matemática y la niña que no sabía jugar al ajedrez.

Los contenidos de este texto contribuyen al desarrollo de Habilidades Matemáticas ya sea para el estudiante o para el profesor.

ÍNDICE

Introducción…………………………………………………………………………….. 2

Sílabo…………………………………………………………………………………….  3         

UNIDAD I: Enseñanza del Pensamiento                                                                         

1.1.La naturaleza de la Enseñanza del Pensamiento ………………………………….... 4

1.2.La Necesidad de la Importancia del Pensamiento ………………………………….  5

1.3.La eficacia de la Enseñanza del Pensamiento …………………………………….... 8

1.4.Aspectos Enseñables del pensamiento……………………………………………… 11        

UNIDAD II: Habilidades Matemáticas                                                                            

2.1. Habilidades Matemáticas: Concepto………………………………………………..  21

2.2. Estructura Sistémica de las Habilidades Matemáticas……………………………… 21

2.3. Etapas del Proceso de Formación del Sistema de Habilidades Matemáticas……….. 23

2.4. Capacidades. Destrezas con sus Procesos Mentales………… ……………………. 24       

UNIDAD III: Los Números y Problemas de la Matemática                                            

1.1.  ¿Cómo multiplicar si uno no sabe la tabla?................................................................. 45

1.2.  ¿Cómo dividir sin saber las tablas de multiplicar?…………………………………...  47

1.3.  La prueba que no se pudo tomar…………………………………………………….. 47

1.4.  La historia de los cuatro sospechosos…………………………………………………48

1.5.  La prueba de pensamiento …………………………………………………………... 49

UNIDAD IV: La Matemática es un Juego

4.1. Porqué es difícil la Matemática……………………………………………………… 53

4.2. Juego: Definición……………………………………………………………………  53

4.3. Dilema del prisionero………………………………………………………………..  54

4.4. Los cigarros de la señora Pita………………………………………………………. 55

4.5 La Matemática y la niña que no sabía jugar al ajedrez……………………………… 55

ENSEÑANZA DEL PENSAMIENTO

2.    NATURALEZA DE LA ENSEÑANZA DEL PENSAMIENTO

La más obvia para todos es establecer de qué enseñanza hablamos. El pensamiento es un concepto que se puede entender, en un sentido general, como incluyendo “todas las actividades cognitivas inteligentes” (Ericsson y Hastie, 1994, p. 37), o “todo lo que media entre la percepción y la acción” (Johnson-Laird, 1993, p. xi). Y también lo podemos definir como un mecanismo de adquisición de conocimiento, un proceso que crea conocimiento a partir del que ya existe. Este mecanismo de adquisición se entiende que es el resultado de habilidades intelectuales como el razonamiento. Una idea ampliamente aceptada, define el pensamiento como toda habilidad intelectual que nos permita lograr del modo más eficaz los resultados deseados. En un sentido menos amplio, lo podemos equiparar a toda actividad de razonamiento, toma de decisiones o solución de problemas (Ericsson y Hastie, 1994). Esta idea recoge los ámbitos más genuinos del campo de la psicología del pensamiento, sus temas fundamentales de investigación.

La idea que asumimos en este artículo es entender que el pensamiento es un proceso de adquisición de conocimiento, logrado mediante habilidades como las de razonamiento, solución de problemas o toma de decisiones, y que ese conocimiento adquirido nos permitirá lograr con mayor eficacia los resultados deseados. Al lector le puede surgir la duda de si esta idea incluye la de inteligencia o es otra cosa distinta. Muchas iniciativas de intervención se dirigen a la mejora de esta capacidad. La duda razonable que puede surgir es si enseñar a pensar es lo mismo que mejorar la inteligencia. Entendemos que desde un punto de vista de la intervención sí lo es, pero desde un punto de vista conceptual, no. Expliquemos esta distinción. La inteligencia es, en nuestra opinión, un concepto muy problemático por su naturaleza heterogénea. En él tienen cabida, no sólo los aspectos cognitivos, sino también los motivacionales y algunos rasgos de personalidad.

Consideramos que una forma de solucionar estas dificultades es, como hacen algunos autores, definir la inteligencia como la potencialidad de nuestro sistema cognitivo. Y una cosa es la potencialidad y otra bien distinta su expresión. Las habilidades cognitivas serían la expresión de esa potencialidad. Y entre estas estarían las de pensamiento. Desde el punto de vista de la instrucción (o de la intervención educativa), hablar de mejorar la inteligencia o enseñar a pensar no entraría en conflicto, porque en ambos casos lo que se persigue es mejorar las habilidades intelectuales superiores (razonamiento, capacidad de abstracción, solución problemas, etc.). Por esta razón, consideramos que inteligencia y pensamiento son equivalentes en el ámbito de la instrucción, pero distintos en cuanto a su naturaleza.

Entendemos por enseñar a pensar toda iniciativa que mejore habilidades como el razonamiento, toma de decisiones o solución de problemas. No queda excluida la enseñanza de la creatividad, puesto que la consideramos como una clase de pensamiento, eso sí, muy especial, del mismo modo que lo es el pensamiento crítico. Identificamos la creatividad más por los resultados que por la naturaleza de las operaciones que intervienen en ella. El pensamiento, podríamos decir; “trabaja creativamente” cuando se ocupa de eventos o problemas mal definidos, ambiguos o inciertos. Por otra parte, pensamos críticamente cuando incrementa la probabilidad de conseguir los resultados esperados. Expresamos así que la enseñanza del pensamiento contempla todos estos aspectos, siendo conscientes del intenso debate que existe, en particular, en torno al concepto de creatividad.

Una vez explicada la naturaleza de la enseñanza del pensamiento, vamos a ocuparnos de explorar si tenemos alguna necesidad de esta clase de enseñanza.

3.   LA NECESIDAD DE LA ENSEÑANZA DEL PENSAMIENTO

La siguiente pregunta que nos debemos plantear es si necesitamos enseñar a pensar. Contestar que no lo necesitamos exige demostrar que nuestro funcionamiento intelectual es aceptable para el desempeño de nuestras actividades, que no existen deficiencias en el mismo que impidan el logro de nuestras metas. Sin considerar más datos que los de la experiencia personal, resultaría difícil sostener esta conclusión de eficiencia cognitiva. Son muchas las ocasiones en las que cometemos errores, reflexionamos de manera falaz, o decidimos de forma errónea o sesgada. Si atendemos a otra clase de datos de mayor calado es posible que aumente nuestro pesimismo respecto a nuestra destreza intelectual. Halpern (1998) comentaba algunos datos realmente inquietantes. Entre el 70% y el 78% de los universitarios lee el horóscopo, y muchos se lo creen. Un 99% de los estudiantes de primeros cursos de universidad cree en algún fenómeno paranormal y el 65% de éstos manifiesta haber experimentado al menos uno. En el verano del 97, en Roswell (Nuevo México) se concentraba una multitud para celebrar 50 aniversarios de la llegada de extraterrestres a la tierra.

A lo largo de décadas, educadores e investigadores han recogido datos de peso sobre los límites del pensamiento. Varios trabajos constatan que ha descendido el porcentaje de alumnos que llega a adquirir un cierto nivel de desarrollo intelectual (Baron y Sternberg, 1987 –prefacio-). En la misma dirección, otro estudio indicaba que la capacidad de razonamiento matemático de los estudiantes ha disminuido en los últimos 15 años (Steen (1987). En varios estudios se encontraba que sólo el 25% de los estudiantes del primer año de universidad manifiestan un nivel suficiente de pensamiento lógico (Halpern (1987). En otros trabajos se ponía de manifiesto que muchos estudiantes de todos los niveles de enseñanza son incapaces de pensar y resolver problemas según las demandas de sus actividades escolares (Nickerson (1994). En un interesante estudio acerca de los programas de enseñanza para el siglo próximo en Estados Unidos (Report for America 2000 -Us Department of Labor, April, 1992), se recogen datos realmente preocupantes sobre el bajo nivel de desarrollo intelectual de los ciudadanos del país con más recursos del planeta.

En las diferentes publicaciones se han expuesto resultados sobre los límites y determinadas dificultades en el pensamiento, muchos de los cuales han sido replicados en numerosas ocasiones. Las deficiencias manifiestas en tareas de razonamiento, como las derivadas del sesgo confirmatorio o de los contenidos de los problemas, dejan al descubierto las lagunas de nuestra maquinaria mental. En tareas de solución de problemas la falta de flexibilidad mental hace que seamos escasamente eficaces en numerosas ocasiones. En estas situaciones, no conseguimos aplicar estrategias tan valiosas como las analogías, porque exigen muchas operaciones previas, como su identificación, recuperación y aplicación. Cuando procedemos inductivamente y efectuamos generalizaciones, son demasiadas las ocasiones en las que nos servimos de la falacia de “yo conozco un caso que…”. Los errores en las estimaciones, pronósticos o elecciones que realizamos, están ampliamente documentadas en los estudios realizados y promovidos por Tversky y Kahneman, lo largo de más de tres décadas.

En la actualidad, a las puertas del próximo milenio, estos datos pueden ser chocantes para el lector que reflexione en el siguiente sentido: Vivimos en una sociedad cada vez más sofisticada, donde los desarrollos tecnológicos están rompiendo barreras impensables hasta hace pocos años; los medios de comunicación ponen a nuestra disposición todos los bancos de datos imaginables, y logran que sucesos o descubrimientos que ocurren a miles de kilómetros sean conocidos en pocos segundos, o que esas distancias se recorran en pocas horas ¿No es una contradicción que, paralelamente a este vertiginoso desarrollo, constatemos una evolución lenta, incluso un retroceso, en nuestras capacidades intelectuales? Si lo enfocamos de la siguiente forma, posiblemente no. En poco tiempo, nuestra sociedad ha experimentado muchos cambios y muy importantes. Y uno decisivo, ha sido el poder disponer de ingentes cantidades de información. El desarrollo informático y facilidad de acceso a la “red de redes”, permite que cualquier persona con un modesto ordenador y un módem pueda consultar decenas de bases de datos, o acceder a información que no hace mucho suponía meses de trabajo. El exceso de información que existe es un inconveniente si no se dispone de buenos filtros que dirijan nuestra atención a lo realmente importante.

En estas circunstancias, nuestra mente puede encontrarse desbordada por la nueva situación. Para hacerle frente necesitamos de nuestra herramienta más preciada: la reflexión. Más que antes, debemos disponer de buenos criterios de selección para bucear en el océano de la información. Y también más que en ninguna otra época, es importante “adivinar” qué dirección tomará el mañana. Pongamos sólo un ejemplo que nos importa de manera especial, el problema de la educación. Amén de las deficiencias en los planes de estudios, de la crisis de los sistemas educativos, de la escasez de recursos… hay una dificultad seria en la enseñanza, al menos en secundaria y universidad. En este momento estamos formando a nuestros alumnos paraprofesiones que en dos o tres décadas puede que no existan o sean una refundición de otras. En este momento, los expertos en prospectiva social estiman que cerca de la mitad de las profesiones actuales desaparecerán, al menos tal como se conciben en la actualidad, y que habrá otras tantas nuevas. Desde esta óptica, se hace difícil diseñar currículos ¿Qué contenidos o tipo de habilidades incluir en un plan de estudios? ¿Debemos incorporar más horas de la materia A o de la B? (precisamente en estos tiempos, y en nuestro país, donde parece que lo más importante de la educación secundaria es si hay pocas o muchas hora de tal o cual asignatura). Quizá nos ayudaría bastante el pensar acerca de qué ciudadano queremos y qué profesional buscamos formar. Lo primero posiblemente sea más fácil de consensuar. Lo segundo, no. El establecimiento de los nuevos currículos depende de criterios que todavía nos tenemos que inventar.

Creemos que hay pocas dudas sobre la necesidad de la enseñanza del pensamiento. Sería una inversión muy rentable, eso sí, a largo plazo, el dedicar un mayor esfuerzo al desarrollo o mejora de nuestras habilidades razonamiento, solución de problemas o de decisión, con el fin de desenvolvernos mejor en nuestra complicada sociedad, y también con el propósito de poder seleccionar eficazmente de entre la ingente cantidad de información que nos distrae y confunde. Otra cosa es que sepamos hacerlo y otra bien distinta que nos dejen: la cuestión sobre la capacidad para mejorar nuestras destrezas intelectuales debemos responderla por obligación, pero el problema de si podemos es asunto de otros. Por ello, nos ocuparemos a continuación del tercer interrogante fundamental, si somos capaces de mejorar tales destrezas.

4.    LA EFICACIA DE LA ENSEÑANZA DEL PENSAMIENTO

El paso siguiente que debemos dar es plantearnos si es posible enseñar a pensar. Hemos justificado la necesidad de la enseñanza del pensamiento y lo que debemos preguntarnos a continuación es si podemos hacer algo. Es cierto que necesitamos mejorar el pensamiento, pero ¿sabemos lo suficiente para hacerlo? Al menos, se han dedicado muchos esfuerzos a conseguirlo. Desde la Grecia presocrática, pasando por los grandes filósofos postsocráticos, hasta la década actual, han sido innumerables los intentos por mejorar el pensamiento y la inteligencia. Ahora bien ¿con qué resultados? ¿Realmente existen datos que muestren que se puede aprender o enseñar a pensar? Podemos decir que sí. Describamos algunos de ellos.

Halpern (1996) expone varias categorías de estudios que muestran que es posible enseñar a pensar. En algunos de estos estudios se ha podido constatar un incremento en las puntuaciones del cociente intelectual, después de una instrucción. La autora también comenta los resultados que apoyan el ambicioso programa “Proyecto inteligencia”, desarrollado en Venezuela en la mitad de la década de los ochenta, y que describiremos en un apartado posterior. A través de esta revisión, podemos conocer además cómo se incrementa la eficacia en tareas de solución de problemas después de la intervención, o cómo se mejoran ciertas habilidades de razonamiento inductivo después de una enseñanza formal. Incluso se nos informa de resultados positivos de transferencia de habilidades a situaciones cotidianas.

Por su parte, Perkins y Grotzer (1997) ofrece evidencia también positiva sobre otras iniciativas de instrucción. Citan resultados que muestran la eficacia de programas de propósitos generales, como el de “Filosofía para niños” de Lipman, el de “Pensamiento productivo” de Covington y col., o el de “Enriquecimiento instrumental” de Feuerstein (éste se describirá después). No se encuentra entre nuestros objetivos fatigar al lector con una exposición amplia de los muchos trabajos que hay sobre el éxito de la enseñanza del pensamiento. Nos basta con comentar algunos de estos para dejar constancia de la existencia de datos a favor. El lector interesado puede consultar extensas revisiones sobre el particular (cf. Maclure y Davis, 1991/1994; Nickerson, Perkins y Smith, 1985/1987; y Segal, Chipman y Glaser, 1985).

Tenemos, sin embargo, un interés mayor por reflexionar sobre el concepto mismo de eficacia. Diremos que un programa funciona si mejora el rendimiento de las personas que lo han cursado. Esto es, estamos valorando la eficacia en función de la magnitud del efecto de la intervención, o lo que es lo mismo, por el efecto que produce simplemente en tareas adecuadas para medir su éxito. No obstante, alguien pudiera esperar que el efecto de un programa no sólo se manifestara en una mejora del rendimiento en el contexto en que se adiestra, sino también en otras tareas distintas a las del contexto del aprendizaje mismo. Confiaríamos, pues, en que el éxito se expresara además por el grado de generalización de las habilidades de pensamiento adquiridas, que estas sirvieran o se aplicaran en otras situaciones. Y por último, seguramente todo el mundo esperaría que esas nuevas destrezas de pensamiento duraran mucho tiempo, que no dependieran de la propia tarea de aprendizaje o de ciertas características de la situación, de modo que una vez que se terminara la tarea, o la situación o el contexto cambiaran, las destrezas dejaran de manifestarse. En este caso nos estamos refiriendo al grado de persistencia del efecto del aprendizaje. Estos criterios de eficacia han sido propuestos por Perkins y Grotzer (1997) y aplicados a la valoración de las iniciativas de instrucción comentadas antes. Sí tenemos que decir que los apoyos a los programas vienen generalmente de cumplir con el criterio cuantitativo del efecto. Se dispone de datos que muestran que la magnitud del efecto del aprendizaje es mayor después que antes del mismo. Sin embargo, las pruebas sobre la generalización (o transferencia) y la persistencia de los efectos son más bien escasas. Bien es verdad que ello se debe a la ausencia de estudios de seguimiento y valoración de los mismos, ya que es muy costoso realizar estudios longitudinales para comprobar si los efectos de la intervención se mantienen o no, y en qué condiciones. En cuanto a la generalización o transferencia, el problema es bien distinto, como trataremos más adelante en otro apartado.

Podemos adelantar, no obstante, que las dificultades son fundamentalmente conceptuales. En una extensa revisión sobre el problema de la transferencia, Detterman (1993) lo plantea con bastante claridad. La transferencia o generalización de los efectos a situaciones nuevas (transferencia general o lejana) es muy difícil de conseguir. De hecho, no existen datos. Ahora bien, la generalización de las habilidades a situaciones semejantes (transferencia específica o próxima) se ha demostrado en muchas ocasiones. Pero en bastantes de estos estudios nos encontramos con que la tarea de la transferencia es demasiado semejante a la original, por lo que resulta más bien una prueba de la magnitud del efecto, en lugar de serlo del grado de generalización del mismo. No son estos datos, en opinión de Detterman y otros, fáciles de interpretar. De hecho si nos dejáramos llevar por la conclusión de este autor, prescindiríamos de concepto de transferencia por su inutilidad. Como él concluye en su revisión, “si tú quieres que alguien aprenda algo, enséñaselo directamente”, y no esperes a que lo adquiera a través de otras enseñanzas. Podríamos usar una analogía deportiva, diciendo que si uno quiere aprender a jugar baloncesto, debemos enseñarle a jugar a baloncesto, y no esperar que desarrolle esta habilidad aprendiendo a jugar a balonmano, por ejemplo. A pesar de su aparente simplicidad, la transferencia es uno de los problemas centrales de la enseñanza en general, y de la del pensamiento, en especial. Tendremos ocasión después de volver a tratarlo.

Ahora nos interesa establecer como conclusión que sí es posible enseñar a pensar, si tenemos en cuenta los datos de los que disponemos y las razones que hemos mencionado. Bien es cierto que la eficacia de la enseñanza del pensamiento es limitada, y muy alejada, por supuesto, de los entusiasmos que se predican en algunos cursos de enseñar a pensar. La pregunta que nos debemos formular a continuación es ¿cuáles son las condiciones o factores que hacen que la enseñanza del pensamiento funcione? Aunque los resultados positivos sean moderados, posiblemente los podríamos mejorar si establecemos qué es lo que se puede y no se puede enseñar. Cuando hay un cambio en el antes y el después del aprendizaje ¿qué es lo que ha funcionado? En definitiva, debemos abordar la última cuestión que nos preocupa ¿cómo enseñar a pensar? ¿De qué forma podemos lograr mejor este objetivo?

4.  LOS ASPECTOS ENSEÑABLES DEL PENSAMIENTO

Cuando una iniciativa de instrucción es eficaz, a continuación debemos preguntarnos por qué lo es ¿Cómo lograr que siga funcionando y que lo haga mejor? Para averiguar dónde radica el éxito de un programa o cómo enseñar a pensar, es necesario que respondamos a otras preguntas menos generales. Nos ayudará imaginar la siguiente situación: Una comisión de expertos recibe el encargo de un ministerio de educación para introducir cambios en el plan de estudios de secundaria, con el fin de conseguir que los alumnos aprendan mejor la física. La comisión, al igual que nosotros, necesita plantearse, en primer lugar, qué contenidos de esta materia son adecuados para el nivel de secundaria. Una vez elegidos bien los contenidos, los expertos deben debatir cuál es el modo de enseñarlos, de modo que sean perfectamente asimilables. Y si estos expertos son avanzados en su visión de la educación, esperaríamos algo más de su propuesta. Esperaríamos que ese buen nivel de conocimiento de física que alcanzarían los alumnos (suponiendo que el resto de las circunstancias sean idóneas), además de producir excelentes rendimientos en las evaluaciones, debería mejorar también en materias relacionadas, como puede ser la química.

Del mismo modo que esta comisión, cuando nos preguntamos cómo enseñar a pensar, nos vemos obligados a responder a las mismas preguntas: 1) ¿Qué aspectos del pensamiento son enseñables? 2) ¿Cómo enseñarlos? y 3) ¿Qué efectos tienen? Es decir, nos planteamos si podemos enseñar todas las habilidades de pensamiento o sólo algunas, cuál es la mejor forma de hacerlo y qué alcance tendría su aprendizaje.

La primera pregunta nos lleva al debate de si nuestra mente es una única capacidad o consta de un conjunto de habilidades intelectuales. Cada vez hay más voces que se alejan de la primera postura para asumir que el pensamiento es un conjunto de habilidades o capacidades. Binet (1911/1962, p. 150) ofrecía uno de los primeros argumentos sobre esta postura:

"…… inteligencia no es una función única e indivisible con una esencia particular en sí misma …… sino que está formada por la combinación de todas las funciones menores, todas las cuales han mostrado ser plásticas y susceptibles de cambio. Con práctica, entusiasmo, y especialmente con método, uno puede conseguir aumentar la atención, memoria y juicio, y resultar literalmente más inteligente que antes; y este proceso continuará hasta que uno alcance su límite".

Binet (1911/1962), además, construía unos ejercicios (es uno de los pioneros en el entrenamiento en solución de problemas) que denominaba «ortopedia mental»: "de la misma forma que la ortopedia física fortalece una columna curvada, la ortopedia mental fortalece, cultiva, y fortifica la atención, memoria, percepción, juicio y deseo" (p. 150).

Si aceptamos la afirmación de Binet de que el rendimiento intelectual se basa en "pequeñas" habilidades intelectuales que pueden ser identificadas y enseñadas, la tarea siguiente consiste en describir mejor dichas tareas. Halpern (1998) defiende exactamente la misma idea. Ella nos dice que “la enseñanza del pensamiento… se apoya en dos supuesto: a) que existen unas habilidades de pensamiento claramente identificables y definibles, y que se pueden enseñar a reconocer y aplicar adecuadamente a los estudiantes, y b) si estas habilidades de pensamiento son reconocidas y aplicadas, los estudiantes serán pensadores más eficaces” (p. 452). Hay suficientes datos recogidos y razones expresadas por diferentes autores que apoyan esta aproximación. Desde los trabajos pioneros, como los ya citados de Binet, pasando por los especialmente importantes y muy conocidos de Polya, Bloom y Broder, y Schoenfeld, hasta otros más recientes como los comentados por Perkins y Grotzer (1997), son muchos los que han diseñado programas de instrucción guiados por este enfoque.

Halpern (1998) propone (y creemos que con bastante acierto) que las habilidades enseñables y aplicables a casi cualquier situación incluirían la capacidad de comprender relaciones de causalidad, valorar suposiciones, defender una postura o conclusión, sopesar grados de incertidumbre, integrar la información y utilizar analogías y otras estrategias para resolver problemas. Son las destrezas que guían especialmente muchas iniciativas de enseñar a pensar. En éstas se intenta desarrollar la capacidad de razonamiento, comprobación de hipótesis, toma de decisiones y solución de problemas. Se trata de habilidades identificables y definibles, y que cuando se emplean hacen de la gente pensadores eficientes. Compartimos el parecer de muchos al considerarlas como los aspectos enseñables del pensamiento.

Siguiendo el proceder de nuestra comisión de expertos para la mejora de la enseñanza de la física, una vez identificadas las habilidades que debemos enseñar, a continuación debemos averiguar cuál sería la mejor forma de enseñarlas. Esta era la segunda cuestión que nos planteábamos. En este punto, una vez más, hay un relativo consenso. A medida que se va conociendo algo del entramado mental, se va observando que la enseñanza es más eficaz si atiende al proceso del pensamiento más que al producto del mismo. Se identifica bien el problema si consideramos que muchas veces se enseñan contenidos ya elaborados, en lugar de cómo pensar sobre ellos. Es más eficaz, por ejemplo, aprender cómo resolver un problema, que aprender a lograr respuestas correctas. Este principio general sobre el modo de enseñar a pensar se precisa en iniciativas concretas. Iniciativas consistentes en contemplar al menos los siguientes aspectos: estrategias, metaconocimiento, disposiciones y práctica. Cuando se incorporan al aprendizaje estrategias cognitivas, la eficacia mejora considerablemente. Estas estrategias pueden ser específicas de un dominio determinado o propio de situaciones de solución de problemas o de toma de decisiones. Pero también pueden ser de propósito general como el análisis de las relaciones medio-fin. Lo cierto es que muchas iniciativas de intervención que mejoran el pensamiento incorporan como parte fundamental del diseño la enseñanza de estrategias.

Cuando se aprende a “leer” el pensamiento se logran muy buenos resultados. El “pensar sobre el pensamiento” permite identificar mejor las deficiencias o errores en el mismo, de modo que se puedan corregir en situaciones futuras. El método de pensar en voz alta ha permitido saber lo eficaz que es incrementar la conciencia sobre nuestro discurso interno. Al conseguir esto, podemos planificar y dirigir mejor nuestro curso de acción. El metaconocimiento es fundamental a la hora de buscar formas eficaces de aprender a pensar. Conseguir una mayor conciencia de los propios pensamientos y lograr una mejor planificación y control de nuestro curso de acción son objetivos primordiales de la intervención en habilidades de pensamiento. Las iniciativas diseñadas para aprender a planificar, para regular mejor nuestras actividades, o para ser más consciente de los procesos de pensamiento, logran cambios significativos en las habilidades enseñadas.

Muchas voces insisten en la necesidad de poseer buenas actitudes para pensar bien. Es fácil de aceptar que el saber comienza en el querer. El deseo o la voluntad de reflexión sería la condición necesaria del pensador eficiente. Éste sabe que el pensar exige esfuerzo y dedicación. No es una destreza que se logre de una vez y para siempre. Poseer una buena disposición para la reflexión es otro objetivo prioritario en la enseñanza del pensamiento. El persuadir de que sólo se alcanzarán los resultados deseados con esfuerzo y dedicación es otro aspecto que determina la eficacia de las iniciativas de intervención. Hace ya tiempo que Dewey hablaba de la importancia de los “buenos hábitos de pensamiento”. Ha sido quizás la tradición del “pensamiento crítico” la que más ha demostrado el papel decisivo del esfuerzo para desarrollar el pensamiento (más adelante trataremos esta perspectiva).

También ha sido esta tradición la que ha mostrado que no se puede pensar sin hacer. No se pueden desarrollar habilidades de pensamiento si no se practican. De nada sirve saber cómo pensar si no pensamos. Es como saber qué hay que hacer para andar en bicicleta. Uno sabe que hay que colocar las manos en el manillar, sentarse en el sillín y colocar los pies en los pedales y moverlos. Si nunca se ha subido a una bicicleta jamás se andará, si no se ha subido y practicado un número suficiente de veces, no se será capaz de desplazarse en ella. La práctica es lo que consolida nuestro conocimiento. Los ejercicios, problemas o actividades prácticas están presentes en la mayoría de las iniciativas de aprender a pensar. Es difícil encontrar un programa de esta naturaleza en el que no se dedique una parte importante a las actividades de consolidación.

Volviendo a nuestra comisión de expertos en física, la tercera y última cuestión que les preocupaba era el alcance de la enseñanza, si se lograría algún efecto aparte del aprendizaje de la materia. Esta tercera cuestión es especialmente relevante para la enseñanza del pensamiento. Teniendo en cuenta su naturaleza, estaría desaprovechado si sólo sirviera para el dominio en el que se ha aprendido. Al fin y al cabo, todos sabemos que habilidades como las de razonar las empleamos en contextos profesionales, académicos y personales. Sería lamentable que el razonar bien sólo lo manifestáramos en el ámbito en que se ha desarrollado. Imaginemos que aprendemos a razonar bien gracias a la lógica. Nos sorprenderíamos si sólo fuéramos capaces de resolver bien problemas de lógica, y no otros como, por ejemplo, emitir juicios sobre problemas cotidianos. El sentido común nos exige pues aceptar sin más que las habilidades de pensamiento son generalizables a la mayoría de las situaciones.

Sin embargo, desde los primeros estudios realizados por Thorndike, con la finalidad de comprobar esta propiedad, los datos no se han mostrado tan claros como el sentido común parece indicarnos. En esos primeros estudios se pretendía probar si el aprendizaje de habilidades generales aprendidas en un contexto se transferían a otro. Durante bastante tiempo se ha mantenido la creencia en que la enseñanza de las lenguas clásicas, como el latín y el griego, desarrollaba las habilidades generales de pensamiento, pero ¿existen pruebas de que el aprendizaje del latín sirva para establecer “buenos hábitos en la mente”? Thorndike (citado por Mayer, 1987) realiza varios trabajos para comprobar si los que aprendían latín rendían mejor en otras disciplinas o contextos. Los datos indicaban que la enseñanza del latín no proporcionaba ventaja en otras tareas o materias. Con buen juicio, él propone que si uno quiere mejorar determinadas habilidades lo mejor que puede hacer es practicarlas directamente. Detterman (1993) defiende la misma tesis, como él dice: “Si tu quieres que alguien aprenda algo, enséñaselo”.

El problema de la generalización o transferencia de las habilidades de pensamiento es especialmente importante, porque no es fácil aceptar la falta de aplicación de las mismas en dominios o situaciones distintas a las del aprendizaje. Pero su importancia también radica en ser uno de los índices fundamentales que debemos tener en cuenta para la evaluación empírica de cualquier programa. Por tal motivo lo retomaremos más adelante. Aquí, de momento, nos preocupa averiguar el por qué del fracaso tan reiterado de la transferencia. Aparte, sobre este particular nos parece especialmente interesante el análisis de Halpern (1998). Cuando uno aprende a pensar el objetivo no es sólo comprender y utilizar con eficacia las habilidades o estrategias adquiridas, sino también ser capaz de reconocer cuándo una de ellas puede ser adecuada en situaciones nuevas. La cuestión clave es saber cuándo se necesita una determinada estrategia o habilidad. Analizado con una cierta sensibilidad introspectiva, el problema es más complejo. Cuando se dice que no se logra aplicar una determinada capacidad a una situación nueva, nos vemos obligados a admitir que puede fracasar alguno de los procesos siguientes. Pudiera suceder que simplemente fuéramos incapaces de saber qué tenemos que hacer en ese contexto. O, que sabiéndolo, no logramos recordar esas habilidades aplicables. O, finalmente, que sabiéndolo y recordándolas, no conseguimos aplicarlas bien. Imaginemos situaciones tan comunes como los problemas de matemáticas. Cuando uno aprende a operar con quebrados, después puede fracasar al resolver problemas de proporciones, porque, o no sabe que puede emplear quebrados, o no recuerda cómo se opera con ellos, o aún sabiendo no sabe cómo aplicarlos.

Como se puede ver, el asunto es algo más complejo. Y no entra dentro de nuestros propósitos el profundizar en las causas del problema de la transferencia. Sí es nuestra intención señalar las condiciones que facilitan la misma. Halpern, dentro de su análisis anterior, apuntaba una solución. Al menos sabemos que pueden existir dificultades de identificación, recuperación y aplicación de habilidades. Éstas se identifican y recuerdan mejor si están disponibles o accesibles en nuestra mente. Su uso es lo que incrementa esa disponibilidad, como sabemos. Por lo tanto, estas dos dificultades se pueden solucionar si en la instrucción introducimos suficientes actividades prácticas. La dificultad para aplicar las habilidades se encuentra en el fracaso a la hora de descubrir las similitudes entre dos situaciones, la del aprendizaje y la de la aplicación. También esta dificultad se puede evitar con las actividades prácticas, pero realizando éstas en contextos distintos. Es necesario que un programa introduzca ejercicios suficientes para diferentes dominios. Al ejercitar nuestras destrezas en muchas situaciones nos obligamos a buscar el modo de aplicación eficaz de las mismas. Desde luego, la comparación de las situaciones o contextos obliga a identificar las semejanzas y diferencias fundamentales. El descubrimiento de lo común es lo que facilita la aplicación. De esta forma, logramos una mayor generalización de nuestras habilidades de pensamiento.

Las cuestiones que nos hemos formulado y que acabamos de responder nos permiten establecer algunos criterios orientativos que guíen el desarrollo de cualquier iniciativa de enseñar a pensar, y ayuden en la valoración de las que ya existen. Al preguntarnos qué aspectos del pensamiento son enseñables, respondíamos que lo son todas las habilidades identificables (específicas o no) como razonar, verificar hipótesis, decidir, y solucionar problemas. Este es el primer criterio práctico que podemos proponer.

Al tratar cómo deberíamos enseñar dichas habilidades de pensamiento contemplábamos cuatro aspectos: estrategias, metaconocimiento, disposiciones y práctica. Las estrategias cognitivas orientan el aprendizaje hacia algunos de sus elementos constituyentes (principalmente de naturaleza heurística). En el metaconocimiento se prima la planificación y la regulación de la acción. Se le da más importancia al discurso interno del pensamiento que al resultado del mismo. Se sabe desde hace tiempo que la gente que piensa bien aúna aptitud más actitud. La buena disposición hacia la reflexión hace que esta actividad sea frecuente y cuidadosa. Y por último, el pensamiento es difícil que se desarrolle si no se practica. Pensar y hacer no deben separarse. El segundo criterio que podemos establecer es el siguiente: un modo eficaz de aprender a pensar es incorporar estrategias cognitivas, en cuanto a destrezas específicas. El tercer criterio consiste en dar especial importancia a la atención a los procesos internos y la planificación y control de la acción. El cuarto criterio recoge el desarrollo de la buena disposición hacia la reflexión, de ser consciente de la necesidad del esfuerzo y la tenacidad. Y el quinto criterio plantea la necesidad de la práctica para el desarrollo de las habilidades intelectuales.

Al tratar el alcance del aprendizaje del pensamiento discutíamos el importante problema de la transferencia, esto es, en qué medida se emplea lo que aprendemos en otros contextos distintos a los del propio aprendizaje. Una forma de generalizar el uso de las habilidades adquiridas consiste en extender la práctica a otros dominios, de realizar actividades con diferentes tareas y en contextos diversos. El tratar con muchas situaciones permite descubrir sus semejanzas y diferencias y, por lo tanto, incrementa la posibilidad de aplicar una misma habilidad en todas ellas. El sexto y último criterio indica la necesidad de incorporar, en el aprendizaje, actividades prácticas para varios contextos o dominios.

En resumen, los criterios que hemos definido son una forma de enumerar las implicaciones prácticas de nuestros análisis. Estos criterios son, como decíamos antes, una guía útil para el desarrollo de cualquier iniciativa de enseñar a pensar, pero también unas directrices que nos permiten valorar cualquiera de las que ya existen. Una vez establecido que se puede enseñar a pensar y la forma de llevarlo a cabo, analizaremos algunos de los programas más representativos. Existen revisiones extensas sobre los programas de enseñar a pensar, que el lector interesado puede consultar (cf. González Marqués, 1991; Maclure y Davies, 1991/1994; Nickerson, Perkins y Smith, 1985/1987). En los objetivos que guían nuestro trabajo no entra el de comparar los programas existente. Buscamos describir sólo los que son una enseñanza directa del pensamiento y que se aplican de manera generalizada en la actualidad. A continuación, en primer lugar, estableceremos los criterios de clasificación que utilizaremos para la selección de programas, y después pasaremos a su descripción.

ACTIVIDAD N°1

Realiza un Mapa Conceptual sobre la Enseñanza del Pensamiento.

II UNIDAD

HABILIDADES MATEMÁTICAS

LA HABILIDAD MATEMÁTICA

Es un tipo de inteligencia formal según la clasificación de Howard Gardner, creador de la Teoría de las inteligencias múltiples. Esta inteligencia implica la capacidad para emplear los números de manera efectiva y de razonar adecuadamente a través del pensamiento lógico. Comúnmente se manifiesta cuando trabajamos con conceptos abstractos o argumentaciones de carácter complejo.

Dentro de procesos complejos, las personas que tienen un nivel alto en este tipo de inteligencia poseen sensibilidad para realizar esquemas y relaciones lógicas, afirmaciones y las proposiciones, las funciones y otras abstracciones relacionadas. Un ejemplo de ejercicio intelectual de carácter afín a esta inteligencia es resolver exámenes de cociente intelectual.

La habilidad matemática es la construcción, por el alumno, del modo de actuar inherente a una determinada actividad matemática, que le permite buscar o utilizar conceptos, propiedades, relaciones, procedimientos matemáticos, utilizar estrategias de trabajo, realizar razonamientos, juicios que son necesarios para resolver problemas matemáticos. Este concepto indica, que no es suficiente pensar en la preparación del alumno para multiplicar fracciones, demostrar un teorema o resolver una ecuación, también atiende a sus posibilidades para explicar el modo de actuar, proyectar el método o procedimientos a emplear, estimar las características del resultado que le permita comparar el objetivo con lo logrado y poder escribirlo en el lenguaje apropiado, en las diferentes formas de representación.

ESTRUCTURA SISTÉMICA DE LAS HABILIDADES MATEMÁTICAS.

Enfoque de sistema.

En la formación de habilidades matemáticas, como proceso orientado a la asimilación del modo de actuación inherente a una actividad específica, se manifiesta la orientación ideológica y filosófica según la interpretación de las categorías y diferentes formas en que transcurre el proceso, los principales cambios que den indicios de nuevas cualidades, de un nuevo estado en el desarrollo del alumno, sujeto de aprendizaje.

En este proceso, el cambio, el desarrollo o transición a estados o niveles que expresan nuevas cualidades no se produce de forma aislada a los restantes procesos pedagógicos y psicológicos, así como otros factores que intervienen en el alumno cuando ejecuta la actividad.

Las tareas que realiza el alumno para asimilar una o varias habilidades matemáticas se basan en un sistema de acciones que, como abstracción, puede describir en un modelo lo esencial del proceder o modo de actuar, pero que no desconoce las cualidades de la personalidad del alumno, sus condiciones previas, los métodos de enseñanza del maestro, las características de los materiales docentes, la influencia del colectivo estudiantil, etc.

El desarrollo en el proceso de formación de habilidades matemáticas como expresión de cambio regular, orientado, irreversible, que tiene como resultado un estado cualitativamente nuevo en su composición y estructura (habilidad para resolver problemas matemáticos), se refleja en cómo alcanzar un determinado estado o nivel que tiene su base en la claridad y conciencia de objetivo al que se llega a través de cambios cualitativos graduales (con la formación y desarrollo de las habilidades básicas que son sus componentes), pero que tienen una integración o sistematización para que se dé el cambio en el sentido progresivo (que el alumno aprenda a resolver problemas matemáticos).

El desarrollo de las habilidades constituye un movimiento en el que el alumno estructura y reestructura sistema de acciones cada vez más complejos y en esa reestructuración o transformación estructural alcanzan estados superiores lo que significa que cada nueva habilidad se incorpora al sistema ya formado, pero no como una habilidad más, sino como un elemento que aporta nuevas interpretaciones, racionaliza procesos u ofrece otras variantes de solución que no borra los sistemas formados, sólo los enriquece.

El enfoque de sistema del proceso de formación de habilidades matemáticas orienta su estudio de forma integral a revelar las diversas relaciones, propiedades, componentes y cualidades que se manifiestan en el proceso de desarrollo, los estados o niveles por los que transita este proceso y que se materializan en la actuación del alumno.

ETAPAS DEL PROCESO DE FORMACIÓN DEL SISTEMA DE HABILIDADES MATEMÁTICAS.

En el proceso de formación del sistema de habilidades matemáticas se observan tres etapas que responden a los eslabones didácticos del proceso docente educativo y su dinámica y toman en cuenta las relaciones entre el desarrollo, la educación y la enseñanza y el concepto de "zona de desarrollo próximo" de L. S. Vigotsky, las tendencias de la enseñanza a través de problemas que tiene sus principales representantes en el paradigma constructivista, que permiten describir la estructura del proceso de enseñanza aprendizaje sobre la base del papel de la resolución de problemas como eje de la formación matemática.

1. Etapa de planteamiento, comprensión y análisis de los problemas esenciales y sus    subproblemas (orientación del sistema de habilidades matemáticas);

2. Etapa de elaboración, ejercitación y sistematización de las habilidades matemáticas básicas y elementales (ejecución del sistema de habilidades);

3. Etapa de aplicación del sistema de conocimientos y habilidades a la resolución de      problemas variados (perfeccionamiento de la ejecución del sistema de habilidades).

A la etapa 1 corresponde el momento durante el cual el alumno se apropia del sistema de problemas que son la expresión de las posibilidades de aplicación de la teoría matemática que estudia y con ellos recibe una orientación inicial de los conceptos, teoremas o procedimientos específicos y generales y las habilidades matemáticas correspondientes que le permiten comprender y fundamentar una o varias vías de solución.

La segunda etapa da continuidad a la anterior al elaborar los conceptos, teoremas y procedimientos (se propone la formación de las habilidades referidas a la elaboración y utilización de conceptos, propiedades y procedimientos) a partir de la interpretación como instrumentos para la precisión de una u otra solución de los problemas esenciales (habilidades matemáticas básicas) y los procedimientos específicos que le sirven de base (habilidades matemáticas elementales). En esta etapa se proponen ejercicios que propicien el ordenamiento, integración y estructuración del sistema de conocimientos y habilidades.

En la tercera etapa, muy relacionada con la anterior, se parte de que el alumno se haya apropiado del sistema de conocimientos y habilidades matemáticas, es decir, los problemas, los instrumentos y estrategias para su solución y dispone de una amplia variedad de muestras, dadas en los ejemplos analizados y los ejercicios resueltos, que le permiten orientarse de forma independiente en la resolución de los problemas.

Este momento debe dedicarse a que el alumno busque vías de solución suficientemente fundamentadas, aplique analogías, generalizaciones, particularizaciones. Las etapas 2 y 3 se entrelazan a lo largo de una unidad de acuerdo con la dosificación del contenido para el cumplimiento del objetivo de formar las habilidades en los tres niveles de sistematicidad planteados.

CAPACIDADES

Es necesario que ustedes sepan; que las capacidades son potencialidades inherentes a la persona y que ésta puede desarrollarse a lo largo de toda su vida, dando lugar a la determinación de los logros educativos. Ellas se cimentan en la interrelación de procesos cognitivos, socio afectivos y motores.

Las capacidades se desarrollan mediante estrategias de aprendizaje que permiten activar en los estudiantes los procesos cognitivos o motores que involucran a la capacidad específica.

Los procesos cognitivos (procesos mentales) son procesos internos que posibilitan el desarrollo o manifestación de la capacidad.

DESTREZAS CON SUS PROCESOS MENTALES

(TRAGALUZ - APRENDO A PENSAR)

TRAGALUZ: Aprendo a pensar pretende desarrollar capacidades desde la evaluación. Entiende que la inteligencia es mejorable y que además se puede y se debe, desde la escuela, enseñar a ser inteligentes. Más aún, la inteligencia es producto del aprendizaje. El alumno como aprendiz posee un elevado aprendizaje potencial (inteligencia potencial) que puede convertirse en real con la ayuda y mediación adecuada del profesor. Consideramos la inteligencia como un conjunto de capacidades y destrezas.

Este proyecto consta de indicadores de evaluación por capacidades que descomponemos en destrezas, entendiendo que un conjunto de destrezas constituye una capacidad. Pretendemos desarrollar capacidades con la finalidad de mejorar la inteligencia. El Proyecto Tragaluz consta de ejercicios que los alumnos deben solucionar de una manera individual, en unos casos y en otros de una forma grupal.

En cada una de las evaluaciones individuales y grupales identificamos algunas capacidades que descomponemos en destrezas que aparecen definidas. Se pretende que el alumno identifique y aplique estas definiciones en los diversos ejercicios que debe solucionar en su casa o en el colegio, tratando de buscar la respuesta correcta a los mismos. Pero más que la respuesta nos interesa que piense cómo ha pensado para llegar a la respuesta y explique los pasos mentales que ha dado para llegar a la misma. Son ejercicios basados en los programas oficiales de Chile y sus contenidos, entendidos como medios para desarrollar las capacidades y destrezas subyacentes.

A continuación, definimos 50 destrezas (acciones mentales) con las cuales aprende un aprendiz y las descomponemos en los pasos mentales o habilidades necesarios para el desarrollo de la respectiva destreza:

1. Abstraer: Extraer un concepto o patrón general que subyace en una información.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar para el desarrollo de la destreza:

a) Observar e identificar la información relevante de determinados textos o hechos.

b) Establecer un patrón o criterio general (concepto general) a partir de la información obtenida.

c) Identificar otras situaciones en las que se pueda aplicar el criterio o patrón general.

d) Verificar si dicho patrón o criterio se da en todos los hechos o situaciones observadas.

2. Agrupar: Formar conjuntos de objetos o conceptos en función de un criterio.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar para el desarrollo de la destreza:

a) Identificar los elementos de uno o varios conjuntos.

b) Reconocer cada uno de los elementos que componen un conjunto determinado.

c) Fijar el criterio de agrupación.

d) Verificar cada agrupación en función de los criterios fijados

3. Analizar: Identificar y reconocer los elementos y relaciones existentes entre las partes que conforman un todo más complejo.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar un todo y sus componentes más representativos.

b) Diferenciar los elementos comunes y no comunes de un todo, relacionándolos entre sí.

c) Identificar si los elementos o partes son los adecuados.

d) Comprobar si las partes corresponden al todo.

4. Análisis de textos: Examinar y valorar comprensivamente las ideas de determinados textos desde diversos puntos de vista.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Leer el texto en forma global.

b) Determinar el significado contextualizado de las palabras desconocidas.

c) Identificar en cada párrafo ideas principales y secundarias.

d) Detectar la organización interna del texto.

e) Construir un organizador gráfico del texto, recogiendo su estructura y el contenido de cada parte.

5. Aplicar: Utilizar en la práctica los conocimientos adquiridos para obtener un efecto o rendimiento en una determinada tarea.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar con precisión los conceptos e ideas previas.

b) Verificar su posible utilización en una situación dada.

c) Comprobar la calidad del producto obtenido.

d) Relacionar el producto con la idea previa y ver si la conexión entre ambos es correcta o no.

6. Argumentar: Dar razones acerca de algo que se está discutiendo, valorando el peso y sentido de las mismas.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar el tema por discutir con precisión.

b) Concretar las razones en pro o en contra del mismo.

c) Organizar las razones en pro o en contra según su importancia.

d) Valorar el peso de los argumentos en función de un criterio y comprobar su aplicación correcta o no.

7. Asociar: Relacionar hechos, conceptos u objetos que tienen algo en común.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Seleccionar determinados hechos, conceptos u objetos.

b) Relacionarlos entre sí, buscando algunos elementos comunes o diferentes.

c) Establecer una secuencia lógica entre ellos en función de las diferencias o de las semejanzas.

d) Verificar si la asociación realizada es adecuada o no.

8. Buscar referencias: Interpretar el espacio y/o el tiempo en función de hechos representativos en relación a hitos relevantes, causas y consecuencias.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Seleccionar determinados acontecimientos geográficos o históricos.

b) Relacionarlos con otros de mayor o igual importancia.

c) Crear una representación mental o física con los mismos como un organizador visual.

d) Interpretar dichos acontecimientos en su respectivo contexto espacial o temporal.

9. Calcular: Llevar a cabo operaciones matemáticas para obtener determinados resultados.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar y definir con precisión los elementos o conceptos que son la base del cálculo por realizar.

b) Operar con dichos elementos.

c) Comprobar si las operaciones realizadas son correctas o no.

d) Verificar los resultados que son objeto del cálculo.

10. Categorizar: Es ordenar hechos, objetos o conceptos siguiendo algún criterio organizador.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Seleccionar hechos, conceptos u objetos que podrían jerarquizarse.

b) Identificar el criterio organizador.

c) Establecer jerarquías provisionales.

d) Verificar si dichos órdenes son correctos.

11. Clasificar: Es disponer un conjunto de datos por clases o categorías en función de un criterio. Agrupar elementos siguiendo algún criterio.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Seleccionar los objetos o conceptos que se desea clasificar.

b) Establecer el criterio a partir del cual se pretende realizar una determinada clasificación.

c) Eliminar aquellos objetos o hechos parecidos, pero que no corresponden al criterio establecido.

d) Verificar si la clasificación es correcta en función del criterio dado.

12. Comparar: Confrontar dos o más hechos u objetos teniendo en cuenta elementos diferentes o semejantes en los mismos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Determinar los elementos que se van a comparar.

b) Establecer criterios de relación.

c) Determinar semejanzas y diferencias entre los elementos.

d) Verificar si la comparación efectuada es correcta.

13. Comprobar: Llevar a cabo un plan para verificar determinados hechos, hipótesis o resultados. Verificar y confirmar la veracidad o exactitud de algo.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar e identificar los hechos por verificar.

b) Buscar los elementos comunes a los mismos.

c) Fijar una teoría previa útil y que posibilite una explicación adecuada de los hechos por comprobar.

d) Verificar si dichos hechos son conformes a la teoría propuesta.

14. Deducir: Concluir consecuencias que se desprenden de determinados principios o generalizaciones. Es ir de los conceptos y leyes a los hechos y experiencias para verificarlos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar los principios o conceptos a partir de los cuales se pretende explicar determinados hechos.

b) Seleccionar adecuadamente los hechos por explicar.

c) Fijar con precisión la relación entre los principios o conceptos con los hechos.

d) Verificar si dicha relación es adecuada o no lo es.

15. Definir: Fijar con claridad y precisión el significado de un concepto o hecho para diferenciarlo de los demás.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar el concepto u objeto por definir, a partir de una descripción previa.

b) Acotar y limitar dicho concepto u objeto diferenciándolo de los demás.

c) Redactar de una manera breve dicho concepto o hecho.

d) Verificar si dicha definición es correcta, comprobando que sólo vale por el hecho u objeto definido (no sirve para otros parecidos).

16. Describir: Identificar las características de situaciones, hechos o personas a partir de lo observable o de imágenes mentales.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar diferentes tipos de ambientes, personas o situaciones.

b) Identificar elementos clave en un ambiente determinado.

c) Caracterizar los ambientes de acuerdo con sus componentes.

d) Relacionar dichos ambientes con otros, diferenciándolos de los demás.

17. Dialogar: Expresar ideas propias sobre una situación concreta, sabiendo escuchar y entender las ideas ajenas.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Expresar ideas propias de una manera coherente.

b) Saber escuchar para entender los puntos de vista de los demás.

c) Argumentar adecuadamente los propios puntos de vista.

d) Aproximar nuestros puntos de vista a los de los demás.

18. Elaboración de textos: Producción oral o escrita de textos con coherencia, cohesión y sentido pertinente.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Fijar con precisión el texto o tema por elaborar.

b) Planificar adecuadamente el mismo, estableciendo las ideas y pasos adecuados.

c) Redacción de un primer borrador o esquema previo.

d) Revisión y reflexión sobre diversos aspectos del texto (ortografía, puntuación, estructura, vocabulario y coherencia).

e) Reescritura del texto corregido.

19. Explicar: Organizar la información sobre una situación determinada, reconociendo sus relaciones, antecedentes, desarrollo y sus posibles efectos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Seleccionar información en función de un objetivo.

b) Organizar dicha información en función de un criterio (antecedentes, relaciones, causas, consecuencias…).

c) Aplicar adecuadamente el criterio.

d) Verificar si la explicación dada es correcta y coherente con lo que se pretende.

20. Exposición correcta de ideas propias: Exponer oralmente o por escrito ideas, experiencias o pensamientos propios de una manera coherente y adecuada.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Seleccionar un tema o situación como punto de partida.

b) Concretar qué aspectos son los relevantes como objeto de mi exposición.

c) Organizar dichos aspectos de una manera coherente y clara.

d) Exponer dicho tema de una manera breve, clara, concisa y organizada.

21. Evaluar: Verificar y valorar resultados o soluciones a problemas dados en función de una criterio.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar con precisión los hechos o situaciones por evaluar.

b) Fijar con precisión el criterio de evaluación.

c) Organizar adecuadamente los pasos por dar en la evaluación.

d) Verificar los resultados de la evaluación en función del criterio dado.

22. Fluidez mental - fluidez verbal: Poseer mapas mentales y conexiones lógicas adecuados, expresados posteriormente en forma oral, de una manera sistemática y ágil.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar con detenimiento el entorno o un contexto determinado.

b) Procesar y organizar la información obtenida.

c) Estructurar mentalmente con coherencia las ideas.

d) Verbalizar lo que siente, se hace o se piensa con seguridad y confianza.

e) Vocalizar con adecuado tono de voz y entonación.

23. Formular hipótesis: Expresar en forma verbal o escrita una posible respuesta por comprobar de un hecho y/o fenómeno observado. Es proponer una teoría provisional.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar los hechos o ejemplos que se presentan.

b) Organizar de una forma coherente los mismos.

c) Extraer características comunes de los hechos o ejemplos observados.

d) Formular una regla o principio común (hipótesis) a los mismos.

24. Fundamentar: Dar pruebas adecuadas y correctas para apoyar una afirmación o una conclusión.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar una afirmación o conclusión de interés.

b) Tratar de entender su significado profundo.

c) Explicar sus causas y/o consecuencias.

d) Valorar el peso de las pruebas o argumentos dados.

25. Graficar: Representar cantidades a través de generación de imágenes (gráficos, tablas, etcétera).

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar y señalar los elementos comunes por graficar.

b) Determinar qué tipo de representaciones gráficas corresponden a cada uno de los elementos.

c) Elaborar dichas representaciones (gráficos, tablas, etcétera).

d) Verificar si dichas representaciones son adecuadas o no a los elementos dados.

26. Identificar: Es determinar con precisión las formas o maneras particulares en que se manifiesta una realidad, objeto o hecho, registrando sus características fundamentales.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Reconocer los elementos dados por una realidad concreta a partir de la observación de los mismos.

b) Seleccionar los elementos relevantes de dicha realidad.

c) Diferenciar los elementos identificados del resto de elementos.

d) Enumerar dichos elementos identificados y verificar si son adecuados o no.

27. Identificar la idea principal de un texto: Reconocer en un texto determinado la información relevante y distinguirla de los detalles meramente anecdóticos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Lectura reposada y comprensiva de un texto dado.

b) Subrayar las ideas principales.

c) Organizar dichas ideas en orden de importancia.

d) Seleccionar la idea más importante y comprobar si engloba el sentido del texto.

28. Indagar: Investigar conceptos, ideas o teorías utilizando diferentes medios de información, con la finalidad de hacer comprensible una situación compleja y poco entendible.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar y reconocer ideas, conceptos o teorías en diversas fuentes de información.

b) Buscar lo relevante de las fuentes de información.

c) Simplificar lo complejo y poco inteligible.

d) Elaborar conclusiones precisas.

29. Inducir: Consiste en concluir generalizaciones o principios a partir de la observación o del análisis de hechos y/o datos. Es ir de los hechos a los conceptos o teorías.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar de una manera sistemática.

b) Identificar lo relevante dentro de lo observado.

c) Buscar lo común dentro de lo observado e identificado.

d) Generalizar lo observado en el marco de una teoría.

30. Inferir: Dar significado a lo que percibimos según los conocimientos previamente adquiridos y las experiencias previas, sacando conclusiones adecuadas.

i) Inferencia deductiva: Implica razonar a partir de principios generales, contrastándolos con los hechos y experiencias.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar las reglas generales o principios que son aplicables a la situación concreta.

b) Identificar las condiciones que tienen que existir para que se apliquen esas reglas.

c) Contrastar los conceptos con los hechos.

d) Verificar si los hechos se explican adecuadamente desde los principios o conceptos.

ii) Inferencia inductiva: Posibilita y permite extraer conclusiones generales válidas a partir de elementos particulares.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar hechos o situaciones específicos de una manera neutral (sin implicarse).

b) Buscar aspectos en común o relaciones en lo observado.

c) Formular una afirmación general que sintetice los aspectos comunes o relaciones observadas.

d) Comprobar si la afirmación general es válida a partir de nuevas observaciones.

e) Verificar la conclusión o modificar la misma si fuera necesario.

31. Interpretar: Dar sentido a la realidad, sacando conclusiones de un hecho o situación. Dar significado a lo que percibimos o sabemos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar detenidamente imágenes, objetos, personas o textos.

b) Identificar los signos y/o símbolos que sobresalen en la imagen, texto, persona u objeto.

c) Explicar el significado de los signos detectados como relevantes.

d) Reflexionar acerca del sentido de las imágenes o situaciones presentadas.

e) Elaborar las conclusiones obtenidas una vez verificadas.

32. Interpretar mapas y planos: Analizar los elementos nucleares de un mapa o un plano en función de determinados criterios.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar el contenido de un mapa o un plano.

b) Identificar y codificar la simbología de los mismos.

c) Determinar la orientación del mapa (plano) y las coordenadas geográficas del territorio representado.

d) Describir los elementos observados en el mapa o plano.

e) Relacionar lo observado con la simbología del mapa o plano.

33. Justificar: Aportar razones para dar validez a un hecho o situación.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar un hecho, una situación determinada.

b) Tratar de entender el sentido de la misma.

c) Organizar las razones en pro o en contra de la misma.

d) Jerarquizar dichas razones en función de su importancia.

e) Llegar a una conclusión pertinente y bien argumentada

34. Lectura comprensiva: Formar imágenes mentales o interpretar textos escritos de un determinado modo, entendiendo su sentido y significación.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Lectura global de un texto dado, tratando de entender el sentido del mismo.

b) Organizar adecuadamente su significado en forma de imágenes mentales.

c) Captar lo nuclear del texto leído.

d) Sacar la conclusión más pertinente a partir de lo leído.

35. Localizar: Es determinar el lugar o el tiempo donde se encuentra un objeto o una persona en relación con uno mismo o con un sistema de coordenadas.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar un objeto o persona en un espacio o tiempo determinado y concreto.

b) Relacionar dicho objeto o persona en función de un punto de referencia conocido.

c) Ubicar dicho objeto o persona en función de determinadas coordenadas geográficas o históricas.

d) Elaborar un mapa o línea de tiempo (mentales o reales) para relacionar adecuadamente entre sí dichos objetos o personas.

36. Medir: Saber la distancia, extensión, peso o volumen de algo, comparándolo con una unidad de medida.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar el objeto u objetos por medir.

b) Seleccionar el instrumento de medición.

c) Aplicar la medida a dicho objeto.

d) Verificar si la medida obtenida es correcta y, en caso negativo, aplicar de nuevo dicha medida.

37. Observar: Es examinar detenidamente los rasgos distintivos de objetos, situaciones o personas, con la finalidad de obtener una idea precisa de los mismos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Fijar la atención selectivamente en un objeto, contexto o situación dada.

b) Identificar los elementos más representativos de la misma en función de lo que se pretende observar.

c) Diferenciar entre los diversos elementos en función de un criterio dado.

d) Elaborar un informe preciso verificándolo adecuadamente.

38. Ortografía adecuada: Uso correcto y aplicado en textos escritos de la ortografía literal, puntual y acentual.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Analizar detenidamente los signos o símbolos que se presentan en distintos contextos.

b) Identificar el contexto de las expresiones.

c) Interpretar el mensaje de lo escuchado o leído.

d) Ordenar sistemáticamente las relaciones existentes en las expresiones dadas.

e) Reestructurar el mensaje de las expresiones o textos aplicando la destreza.

39. Producir textos: Elaborar textos orales o escritos a partir de hechos, experiencias o situaciones dadas.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Lluvia de ideas para seleccionar un tema.

b) Determinar el propósito del texto y los destinatarios.

c) Establecer ideas por tratar acerca del tema y de acuerdo con el plan de redacción.

d) Determinar ideas secundarias para cada idea principal.

e) Redactar un borrador y corregirlo con propuestas de mejora.

f) Redactar versión definitiva y corrección precisa del mismo.

40. Puntuación correcta: Escribir respetando la ortografía puntual.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Lectura reposada sobre las reglas básicas de puntuación.

b) Lectura de textos, dándoles sentido con los signos pertinentes.

c) Lectura por segunda vez, dándoles sentido a las oraciones y párrafos.

d) Verificar el uso correcto de los signos de puntuación.

41. Reconocer: Identificar y describir situaciones importantes que se dan en textos, imágenes o hechos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Identificar hechos o situaciones concretas a partir de la observación de los mismos.

b) Comprobar las características de los mismos.

c) Describir estas características.

d) Verificar si estas descripciones se corresponden con el objetivo que se pretende y si son reales o no.

42. Redactar: Expresar por escrito, de una manera coherente, ideas, sentimientos o pensamientos propios o ajenos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Fijar la temática que es objeto de redacción.

b) Construir un esquema previo como mapa mental temático.

c) Elaborar un texto provisional más amplio a partir de dicho esquema.

d) Utilizar una ortografía correcta y un vocabulario preciso.

e) Revisión final de texto redactado.

43. Relacionar: Identificar lo común y lo diferente en función de un criterio aplicado a situaciones, hechos, personas u objetos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar e identificar hechos o situaciones concretas.

b) Identificar lo relevante de los mismos.

c) Establecer diferencias y semejanzas entre ellos.

d) Verificar si el criterio de relación se aplicó correctamente o no.

44. Representar: Generar imágenes mentales a partir de ideas, sentimientos o experiencias.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Construir imágenes visuales a partir de hechos o ejemplos observados.

b) Convertir estas imágenes visuales en imágenes mentales.

c) Expresar de una manera gráfica o plástica estas imágenes mentales.

d) Verificar si estas imágenes se corresponden con el objetivo que se pretende.

45. Resolución de problemas: Analizar información adecuada para buscar la solución a diferentes situaciones problemáticas, identificando los pasos mentales para ello.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Analizar la situación que se presenta como un problema mediante la lectura comprensiva del mismo.

b) Identificar y seleccionar datos relevantes para descubrir el procedimiento correcto.

c) Secuenciar correctamente los pasos por dar para llegar a la solución correcta.

d) Redactar una respuesta clara y completa según la pregunta del problema.

e) Verificar dicha respuesta.

46. Resumir: Esquematizar textos al simplificarlos o exponer algo extenso de una manera breve.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Lectura reposada de un texto para comprender de qué se trata.

b) En la segunda lectura, identificar las palabras clave y subrayarlas.

c) Reconocimiento de las ideas principales, diferenciando entre ideas más generales y más específicas.

d) Elaborar un esquema como una forma de organizar el texto.

e) Verificar si este esquema es correcto.

47. Sacar conclusiones: Es deducir a partir de algo que admitimos, demostramos o suponemos.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar hechos o situaciones concretas.

b) Identificar los elementos o conceptos más representativos y relevantes de los mismos.

c) Seleccionar dichos elementos en función de un objetivo.

d) Verificar si las conclusiones obtenidas son adecuadas (o no) a dicho objetivo.

48. Secuenciar: Es establecer una serie o sucesión, temporal o lógica, de acontecimientos o situaciones que guardan entre sí cierta relación.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Observar e identificar determinados acontecimientos o situaciones que tengan algo en común.

b) Fijar un criterio organizador de la secuencia (espacio, tiempo, medida...).

c) Jerarquizar dicha secuencia en función del criterio dado.

d) Verificar si el criterio es aplicado correctamente y la secuencia es correcta.

49. Seriar: Ordenar de acuerdo con un criterio determinado, estableciendo secuencias.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Determinar objetos o situaciones por secuenciar.

b) Fijar el criterio de seriación o secuenciación.

c) Establecer relaciones respetando dicho criterio.

d) Verificar si la aplicación del criterio dado es correcta.

50. Sintetizar: Articular las ideas, principios y procesos en forma coherente, formando un todo global y esquemático.

Pasos mentales (habilidades) que debes dar en el desarrollo de la destreza:

a) Leer un texto de manera global y comprensiva.

b) Buscar lo esencial en el mismo (ideas principales).

c) Elaborar un esquema global que refleje las ideas fundamentales.

d) Elaborar un nuevo texto breve a partir de un esquema u organizador gráfico

ACTIVIDAD N°2

ü  Realiza un Mapa Conceptual sobre Etapas del Proceso de Formación de Habilidades Matemáticas.

ü  De la relación de Destrezas ¿Cuál crees que son Destrezas Matemáticas?

ü  Del contenido de Funciones Cuadráticas, ¿Qué capacidades se desarrollan en los estudiantes?, después de ubicar las capacidades ¿Cuáles son los procesos mentales de cada capacidad?

III UNIDAD

LOS NÚMEROS Y PROBLEMAS DE LA MATEMÁTICA

ALGUNAS CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

¿Cómo multiplicar si uno no sabe las tablas?

Lo que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas. Sólo se requiere:

Saber multiplicar por 2

Saber dividir por 2, y

Saber sumar

Este método no es nuevo. En todo caso, lo podría decir es que está en desuso u olvidado, ya que era la forma en que multiplicaban los egipcios y que aun hoy se utiliza en muchas regiones de Rusia. A continuación  se da un ejemplo que será suficiente para entenderlo.

Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136. Entonces, prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136.

En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19 hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1. Ahí para.

Esta columna, entonces, quedó así:

                                   19

                                   9

                                   4

                                   2

                                   1

Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de la primera columna. Es decir:

                                   19                    136

                                   9                      272

                                   4                      544

                                   2                      1088

                                   1                      2176

Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Convengamos en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que se hizo fue dividir por 2 en la columna izquierda y multiplicar por 2 en la de la derecha. Ahora, sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a números impares de la izquierda. En este caso:

                                   19                    136

                                   9                      272

                                   4                      544

                                   2                      1088

                                   1                      2176

Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:

136  +  272  +  2176 = 2584, que es el producto de 19 por 136.

ACTIVIDAD N°3

¿Cómo dividir dos números sin tener que aprender primero las tablas de multiplicar? Encuentra un método alternativo para dividir 712 por 31.

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Dinámicas

La prueba que no se puede tomar

Pensemos juntos esta situación. Un profesor de colegio secundario anuncia a los estudiantes que tomará una prueba “sorpresa” la semana siguiente. Los alumnos cursan un ciclo de doble escolaridad, es decir que concurren a clases a la mañana y a la tarde. El profesor les dice que la prueba la podrá tomar cualquier día, exactamente a la una de la tarde. Eso sí: ellos se enterarían el mismo día de la prueba, a las ocho de la mañana, ni antes ni después. Y las reglas serán estrictas, en el sentido de que él garantizaba su cumplimiento.

El viernes previo a la semana en cuestión, el profesor anuncia que la prueba se tomará sí o sí. Veamos ahora el siguiente razonamiento que hicieron los alumnos.

Uno dijo:

–El viernes no la puede tomar.

– ¿Por qué? –preguntó otro.

– ¡Fácil! –retomó el primero en hablar–. Si llegamos hasta el día jueves y no la tomó, eso quiere decir que nosotros sabríamos el mismo jueves que la prueba será al día siguiente, ya que no le queda otra. Pero en ese caso, el profesor violaría su propia regla, ya que dijo que nos enteraríamos el mismo día de la prueba a las ocho de la mañana. Si no la tomó hasta el jueves, ese día nosotros sabríamos que será el viernes. Y eso no puede pasar –terminó contundente.

–No, pero espera –saltó otro–. Entonces, el jueves tampoco la puede tomar –dijo entusiasmado y entusiasmando a los otros–. Fíjense por qué: como nosotros ya sabríamos que el viernes no la puede tomar (si no la tomó el jueves), entonces, si no la toma el miércoles, sabríamos ese día (el miércoles) que el jueves tiene que tomar la prueba. Pero eso volvería a violar sus propias reglas. Es decir, nosotros sabríamos el miércoles a la mañana, que si la prueba no la tomó ese día, la tendría que tomar el jueves porque el viernes no puede. Y es un lío para él, porque se dan cuenta que, así siguiendo, podemos demostrar ahora que el miércoles no la puede tomar tampoco, ya que si el martes no la tomó, como no puede hacernos rendir ni el jueves ni el viernes, tendría que ser el miércoles.

El proceso puede continuar hacia atrás, de manera tal de llegar a concluir que la prueba no se puede tomar nunca. O mejor dicho, ¡no se puede tomar ningún día de esa semana! Al menos, no se puede tomar en las condiciones que propuso el docente.

La historia termina acá. La paradoja continúa abierta. Existe mucha discusión sobre ella y hay estudios en varios sentidos, sin que exista un consenso mayoritario sobre cuál es en realidad el problema principal.

Ciertamente, los profesores toman pruebas “sorpresa”, de manera que hay algo que no funciona. Esas reglas que puso el docente son incumplibles. O bien el profesor tiene que revisarlas y admitir que los alumnos puedan enterarse el día anterior que la prueba será tomada, o bien el carácter sorpresivo será un poco más discutible.

La historia de los cuatro sospechosos

Se denunció un robo de dinero y la policía detuvo a cuatro  sospechosos. Los cuatro fueron interrogados, y se sabe que uno solo dijo la verdad. El problema consiste en leer lo que dijo cada uno, y encontrar razones que demuestren quién fue el que dijo la verdad, o sea, encontrar al único que no mintió.

El sospechoso número 1 dijo que él no robó el dinero.

El sospechoso número 2 dijo que el número uno mentía.

El sospechoso número 3 dijo que el número dos mentía.

El sospechoso número 4 dijo que el número dos fue quien robó el dinero.

Le propongo coger un lápiz y papel, y ganas de disfrutar pensando.

Problemas de pensamiento lateral

(Eminencia)

El "pensamiento lateral" es un concepto desarrollado por Edward De Bono y que ha alcanzado difusión en el área de la psicología individual y social. El pensamiento lateral se caracteriza por producir ideas que estén fuera del patrón de pensamiento habitual.

Es un método de pensamiento que puede ser empleado como una técnica para la resolución de problemas de manera creativa, que normalmente serian ignorados por el pensamiento lógico.  

La imaginación es otra herramienta clave del pensamiento lateral o creativo. La costumbre de ver los problemas siempre desde un mismo enfoque no siempre ayuda a resolverlos. Se trata entonces de enfocarlos creativamente desde otro ángulo. La perspectiva lateral será más efectiva a la hora de resolver cuestiones aparentemente no convencionales.

El siguiente problema es uno de los mejores que se considera de pensamiento lateral y generó controversias. Recuerde que no hay trampas ni cosas escondidas.

Antonio, padre de Roberto, un niño de 8 años, sale manejando su auto desde su casa en la Ciudad de Buenos Aires y se dirige rumbo a Mar del Plata. Roberto va con él. En el camino se produce un terrible accidente. Un camión, que venía de frente, sale de su carril en la autopista y embiste de frente el auto de Antonio.

 El impacto mata instantáneamente a Antonio, pero Roberto sigue con vida. Una ambulancia de la municipalidad de Dolores llega casi de inmediato, advertida por quienes fueron ocasionales testigos, y el niño es trasladado al hospital. Ni bien llega, los médicos de guardia comienzan a tratarlo con mucha dedicación, aunque luego de conversar entre ellos y estabilizarle las condiciones vitales deciden que no pueden resolver el problema de Roberto. Necesitan consultar. Además, advierten el riesgo de trasladar al niño y, por eso, deciden dejarlo internado allí, en Dolores. Después de las consultas pertinentes, se comunican con el Hospital de Niños de la Capital y finalmente se asesoran con una eminencia en el tema, a quien ponen en conocimiento de lo ocurrido. Como todos concuerdan en que lo mejor es dejarlo a Roberto en Dolores, la eminencia decide viajar directamente desde Buenos Aires hacia allá. Y lo hace.

Los médicos del lugar le presentan el caso y esperan ansiosos su opinión. Finalmente, uno de ellos es el primero en hablar:

– ¿Está usted en condiciones de tratar al nene? –pregunta con un hilo de voz.

Y obtiene la siguiente respuesta:

– ¡Cómo no lo voy a tratar si es mi hijo!

Insisto, al lector, que no hay trampas, no hay nada oculto. Tiene que tener en cuenta lo siguiente:

a.         Antonio no es el padrastro.

b.        Antonio no es cura.

El problema de los seis fósforos

Se tienen seis fósforos iguales. ¿Es posible construir con ellos cuatro triángulos equiláteros cuyos lados sean iguales al largo del fósforo?

Nota 1: No conteste rápido si no se le ocurre la solución. Piense.

Nota 2: Triángulo equilátero quiere decir que tiene los tres lados iguales. De hecho, “equi” = “igual”, “látero” = lado. En este caso, lados iguales y, además, de igual longitud que la del fósforo.

Un cambio en la rutina

El siguiente problema fue seleccionado por Martin Gardner como uno de los que más le gustaron por su sencillez y profundidad. Después de leerlo, y eventualmente resolverlo, quedarán algunas reflexiones, pero la más importante tendría que ser: ¿cuántas veces en la vida cotidiana creemos estar ante un problema que, o bien no tiene solución, o bien creemos que nos faltan datos para resolverlo?

Éste es un magnífico ejemplo para poner a prueba, no el ingenio, sino la capacidad para pensar desde otro lugar. Acá va el planteo.

Un comerciante viaja a su trabajo todos los días usando el mismo tren, que sale de la misma estación y que tiene los mismos horarios, tanto de ida como de vuelta. Para colaborar con él, su mujer lo lleva a la mañana hasta la estación y luego lo pasa a buscar a las 5 de la tarde con su coche, de manera tal de ahorrarle un viaje en colectivo.

Para el problema, lo importante es que la mujer lo encuentra todos los días a la misma hora, a las 5 de la tarde, y juntos viajan a su casa.

Un día, el marido termina su trabajo más temprano y toma un viaje previo que lo deposita en la estación a las 4 de la tarde (en lugar de las 5, como es habitual). Como el día está muy lindo, en vez de llamar a la mujer para contarle lo que hizo, decide empezar a caminar por la calle que usa ella para ir a buscarlo. Se encuentran en el trayecto, como él había previsto. El marido se sube al auto y juntos vuelven a su domicilio, al que llegan 10 minutos antes que lo habitual.

Si uno supone la situación ideal (e irreal también) de que:

a) la mujer viaja siempre a la misma velocidad;

b) sale siempre a la misma hora de la casa para ir a buscar a su compañero;

c) el hombre se sube al auto en forma instantánea y sin perder tiempo;

d) nunca aparece nada extraño en el camino, ni semáforos que dilaten o aceleren el tránsito, etcétera.

¿Puede usted determinar cuánto tiempo caminó el marido cuando ella lo encontró?

IV UNIDAD

LA MATEMÁTICA ES UN JUEGO

                     

¿Por qué es difícil la matemática?

Las dificultades que los alumnos encuentran en el aprendizaje de las matemáticas cabe encuadrarlas en la utilización de una metodología obsoleta e inadecuada que debe dar paso a una metodología más activa y acorde con los principios del aprendizaje significativo.

Es necesario que el profesor conozca:

-       Características psicológicas de los alumnos a los que va destinado el aprendizaje.

-       Mecanismos por los que se rige el aprendizaje matemático.

-       Relación profesor / alumno durante el proceso de aprender.

Toda enseñanza que pretenda lograr aprendizajes significativos en los alumnos deben conectar los nuevos aprendizajes con los que el alumno poseía con anterioridad. En caso contrario, los alumnos tenderán a percibir la matemática como algo difícil, misterioso y q

Los alumnos de Educación Primaria deben aprender las matemáticas mediante una metodología activa que debe pasar por las cuatro fases: manipulativa, verbal, grafica y simbólica; y debe tener en cuenta los conocimientos previos que posee el sujeto.

Los alumnos de Educación Secundaria se les puede iniciar en la abstracción y cuando serán capaces de construir estructurales formales y de desarrollar en lo posible su pensamiento lógico, lo que les permitirá adquirir y depositar ordenadamente en su mente los conocimientos matemáticos.

Todo método que dependa de explicaciones verbales, libros de texto y de simbolismos escritos relativamente abstractos, producirá escasos aprendizajes matemáticos significativos.

Juego

Es una ocupación voluntaria, a la que se dedica libremente. Es un desafío contra una tarea o un oponente. Viene controlado por un conjunto definido de reglas, que abarcan todas las maneras de jugarlo. Representa una situación arbitraria claramente delimitada en el tiempo y en el espacio, desde la actividad de la vida real. El estado exacto que se alcanza durante el juego no se conoce a priori al comenzar el mismo. El juego termina después de un número finito de movimientos en el espacio – tiempo.

ACTIVIDAD N°4

Dilema del prisionero

Dos personas son acusadas de haber robado un banco en Inglaterra. Los ladrones son apresados y puestos en celdas separadas e incomunicados. Ambos están más preocupados por evitar un futuro personal en la cárcel que por el destino de su cómplice.

Es decir, a cada uno le importa más conservar su propia libertad, que la de su cómplice.

Interviene un fiscal. Las pruebas que reúne son insuficientes.

Necesitaría una confesión para confirmar sus sospechas. Y aquí viene la clave de todo. Se junta con cada uno de ellos y les plantea (por separado) la siguiente oferta:

–Usted puede elegir entre confesar o permanecer callado. Si confiesa y su cómplice no habla, yo retiro los cargos que tengo contra usted, pero uso su testimonio para enviar al otro a la cárcel por diez años. De la misma forma, si su cómplice confiesa y es usted el que no habla, él quedará en libertad y usted estará entre rejas por los próximos diez años. Si confiesan los dos, los dos serán condenados, pero a cinco años cada uno. Por último, si ninguno de los dos habla, les corresponderá sólo un año de cárcel a cada uno porque sólo los podré acusar de un delito menor por portación de armas.

”Ustedes deciden –le dice a cada uno por separado–. Eso sí, si quieren confesar, deben dejar una nota con el guardia que está en la puerta antes de que yo vuelva mañana. –Y se va.

Este problema fue planteado en 1951 por Merrill M. Flood, un matemático inglés, en cooperación con Melvin Dresher.

Ambos actuaron estimulados por las aplicaciones que este tipo de dilemas podrían tener en el diseño de estrategias para enfrentar una potencial guerra nuclear. El título “Dilema del prisionero” se le debe a Albert W. Tucker, profesor en Princeton, quien trató de adaptar las ideas de los matemáticos para hacerlas más accesibles a grupos de psicólogos.

En definitiva, se trata de ilustrar, una vez más, el conflicto entre el interés individual y el grupal.

• ¿Qué haría si estuviera en la posición de cada uno de ellos?

• ¿Cuál cree que es la respuesta que dieron ellos en ese caso?

• ¿Qué cree que haría la mayoría en una situación similar?

• ¿Encuentra algunas similitudes con situaciones de la vida cotidiana en las que usted estuvo involucrado?

Los cigarros de la señora Pita

La señora Pita, una gran fumadora durante muchos años, finalmente decidió dejar de fumar. "Acabaré los veintisiete cigarrillos que me quedan", se dijo, «y jamás volveré a fumar".

La costumbre de la señora Pita era fumar exactamente dos tercios de cada cigarrillo. No tardó mucho en descubrir que con la ayuda de una cinta engomada podía pegar tres colillas y hacer otro cigarrillo. Con 27 cigarrillos, ¿cuántos cigarrillos puede fumar antes de abandonar el tabaco para siempre?

La matemática y la niña que no sabía jugar al ajedrez

Violeta, una niña de doce años que virtualmente no sabe nada sobre ajedrez, observa que su padre pierde dos partidas seguidas con sus amigos Alberto y Marcelo. Se acerca a él y le dice: “Papá, te aseguro que yo podría hacer mejor papel que tu  frente a ellos. No sé mucho de ajedrez, pero me atrevo a jugarles a los dos, incluso en forma simultánea, y estoy segura de que, al menos no voy a perder las dos partidas como tú. Es decir: no te puedo decir que voy a ganar las dos, pero te puedo garantizar que seguro voy a hacer un mejor papel que tu”.

El padre la miraba sorprendido, sin poder entender lo que le decía

Violeta, pero la niña pareció subir la apuesta.

“Te propongo más, papá. Como yo sé que Alberto se considera peor jugador que Marcelo, dile que lo invito a que él juegue con piezas blancas. Eso sí, frente a Marcelo, las blancas las quiero usar yo.

Y les ofrezco que juguemos ambas partidas en forma simultánea. Yo los enfrento a los dos al mismo tiempo”.